Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 5 см, а один из катетов — 13 см. Найдите гипотенузу, второй катет и отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Дано:

Прямоугольный треугольник, у которого:

• один катет равен 13 см;

• высота, проведённая к гипотенузе, равна 5 см.

Найти: гипотенузу, второй катет и отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Решение

Обозначим прямоугольный треугольник через $ABC$, где $\angle C=90^\circ$.

Пусть $CH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AB$.

Тогда:

$AC=13$ см, $CH=5$ см.

1. Найдём первый отрезок гипотенузы $AH$.

Треугольник $ACH$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

2. Найдём второй отрезок гипотенузы $BH$.

По свойству высоты, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы:

Подставим известные значения:

3. Найдём гипотенузу $AB$.

Гипотенуза равна сумме двух отрезков:

4. Найдём второй катет $BC$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ABC$:

Ответ

• Гипотенуза: $\displaystyle 14\frac1{12}$ см.

• Второй катет: $\displaystyle 5\frac5{12}$ см.

• Отрезки гипотенузы: $12$ см и $\displaystyle 2\frac1{12}$