Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что угол ACO равен углу BDO, AO:OB=2:3. Найдите периметр треугольника ACO, если периметр треугольника BOD равен 21 см.

Дано:

• Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$.

• $\angle ACO = \angle BDO$.

• $AO:OB = 2:3$.

• Периметр треугольника $BOD$ равен 21 см.

Найти: периметр треугольника $ACO$.

Решение

1. Докажем, что треугольники $ACO$ и $BDO$ подобны.

По условию:

Кроме того,

так как эти углы вертикальные, а вертикальные углы равны.

Следовательно, треугольники $ACO$ и $BDO$ подобны по двум углам:

2. Найдём коэффициент подобия.

По условию:

Значит, коэффициент подобия треугольника $ACO$ к треугольнику $BDO$ равен:

3. Найдём периметр треугольника $ACO$.

Известно, что периметры подобных треугольников относятся так же, как их соответствующие стороны.

Поэтому:

Так как $P_{BDO}=21$ см, получаем:

Отсюда:

Ответ: $\boxed{14\text{ см}}$.