Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC. Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

Доказательство.

Дано: треугольник $ABC$. Через вершину $A$ проведена прямая $a$, параллельная стороне $BC$. Эта прямая образует со стороной $AC$ угол, равный углу $BAC$.

Требуется доказать: треугольник $ABC$ равнобедренный.

Решение:

1. Обозначим на прямой $a$ точку $D$ так, чтобы луч $AD$ был направлен в ту же сторону, что и луч $BC$.

2. Поскольку по условию $AD \parallel BC$, а прямая $AC$ пересекает эти параллельные прямые, то углы $DAC$ и $ACB$ равны как накрест лежащие:

3. По условию задачи угол, образованный проведённой прямой со стороной $AC$, равен углу $BAC$:

4. Следовательно, из двух полученных равенств имеем:

5. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Против угла $BAC$ лежит сторона $BC$, а против угла $ACB$ — сторона $AB$.

Значит,

Вывод: треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как две его стороны равны: $AB=BC$. Его основание — $AC$, а вершина при равных боковых сторонах — $B$.

Что и требовалось доказать.