Высота конуса равна длине окружности основания. Найдите диаметр основания конуса, если его объём равен 18π².

Дано:

• Высота конуса равна длине окружности его основания.

• Объём конуса $V=18\pi^2$.

• Найти диаметр основания $d$.

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле:

где $r$ — радиус основания конуса, $h$ — его высота.

По условию высота конуса равна длине окружности основания. Длина окружности вычисляется по формуле:

Следовательно,

Подставим это выражение в формулу объёма конуса:

Упростим:

По условию объём равен $18\pi^2$, поэтому:

Разделим обе части уравнения на $\pi^2$:

Умножим обе части на $\frac32$:

Извлечём кубический корень:

Теперь найдём диаметр основания конуса. Диаметр равен удвоенному радиусу:

Ответ: $\boxed{6}$.