Диагональ параллелограмма ABCD равна 18 см

Середина М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM. Мы рассматриваем треугольники АМН и CDH.

Дано:

• $ABCD$ — параллелограмм.

• $AC=18$ см — диагональ параллелограмма.

• $M$ — середина стороны $AB$.

• Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $H$.

Найти: $AH$ и $HC$.

Решение

Рассмотрим треугольники $AMH$ и $CDH$.

1. Докажем, что треугольники $AMH$ и $CDH$ подобны.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны:

Следовательно, $AM\parallel CD$, поскольку точка $M$ лежит на стороне $AB$.

Отсюда:

как накрест лежащие углы при параллельных прямых.

Кроме того,

как вертикальные углы.

Значит, треугольники $AMH$ и $CDH$ подобны по двум углам.

2. Составим пропорцию.

Из подобия треугольников следует:

По условию $M$ — середина стороны $AB$, поэтому:

В параллелограмме противоположные стороны равны:

Следовательно,

Подставим в пропорцию:

Таким образом, диагональ $AC$ делится точкой $H$ в отношении $1:2$.

3. Найдём длины отрезков.

Пусть $AH=x$ см, тогда $HC=2x$ см.

Поскольку $AC=18$ см, получаем:

Значит,

Ответ: $AH=6$ см, $HC=12$ см.