В равнобедренную трапецию с основаниями 2 и 10 вписана окружность. Найти: а) боковую сторону; б) высоту трапеции; в) радиус вписанной окружности; г) диагональ трапеции.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность.

Основания трапеции:

Найти:

а) боковую сторону; б) высоту трапеции; в) радиус вписанной окружности; г) диагональ трапеции.

Решение

1. Найдём боковую сторону трапеции.

Так как в трапецию вписана окружность, сумма длин её противоположных сторон равна:

Трапеция равнобедренная, поэтому боковые стороны равны:

Обозначим боковую сторону через $x$. Тогда:

Таким образом, боковая сторона трапеции равна 6.

2. Найдём высоту трапеции.

Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее основание.

Получатся два прямоугольных треугольника с равными катетами по горизонтали.

Разность оснований равна:

Так как трапеция равнобедренная, разность делится пополам:

Получаем прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 6, один катет равен 4, а второй катет — высота $h$.

По теореме Пифагора:

Следовательно:

3. Найдём радиус вписанной окружности.

Окружность касается обоих оснований трапеции. Поэтому высота трапеции равна двум радиусам окружности:

Отсюда:

Подставим найденную высоту:

4. Найдём диагональ трапеции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю трапеции, её высотой и горизонтальной проекцией.

Горизонтальная проекция диагонали равна половине суммы оснований:

Высота трапеции равна $2\sqrt5$.

По теореме Пифагора:

Следовательно:

Ответ:

а) Боковая сторона трапеции:

б) Высота трапеции:

в) Радиус вписанной окружности: