В равнобедренную трапецию вписана окружность. Периметр трапеции равен 56 см. Точка касания делит боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основание трапеции.

Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями $a$ и $b$ ($a>b$) и боковыми сторонами $c$ и $c$. В трапецию вписана окружность, значит трапеция касательная (вписанная окружность касается всех сторон).

1) Используем свойство касательного четырехугольника

Для любого четырехугольника, в который можно вписать окружность, верно:

Периметр трапеции:

Но $a+b=2c$, значит:

То есть каждая боковая сторона равна $14$ см, а также

2) Как точка касания делит боковую сторону

Пусть окружность касается боковой стороны и делит её на отрезки $5$ см и $14-5=9$ см.

Важно свойство касательных: из одной вершины к окружности касательные отрезки равны.

Обозначим трапецию $ABCD$, где $AB\parallel CD$, $AB=b$ (меньшее основание), $CD=a$ (большее основание), боковые стороны $AD$ и $BC$.

Пусть окружность касается $AD$ в точке $E$. Тогда отрезки $AE$ и $DE$ — это как раз две части боковой стороны $AD$, то есть $AE=5$, $DE=9$ (или наоборот).

По равнобедренности (симметрии) трапеции соответствующие отрезки на другой боковой стороне $BC$ будут такими же: от верхней вершины — $5$, от нижней — $9$.

3) Находим основания через касательные отрезки

Меньшее основание $AB$ состоит из двух касательных отрезков от вершин $A$ и $B$ до точек касания на $AB$. Эти отрезки равны соответствующим верхним частям боковых сторон, то есть по $5$ см с каждой стороны:

А большее основание $CD$ аналогично состоит из двух нижних касательных отрезков — по $9$ см с каждой стороны:

Проверка:

Ответ: основания трапеции равны $10$ см и $18$ см.