В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A₁C₁. Найдите площадь сечения.

Пусть \(M\) — середина ребра \(A_1C_1\). Сечение проходит через точки \(A\), \(B\) и \(M\).

Так как плоскость проходит через ребро \(AB\), а на верхнем основании пересекает сторону \(A_1C_1\) в её середине, то она пересечёт и сторону \(B_1C_1\) в её середине. Обозначим эту точку \(N\). Сечение — трапеция \(ABNM\).

Её основания:

\[AB=6\]

\[MN=3\]

Потому что \(MN\) — средняя линия треугольника \(A_1B_1C_1\).

Высота трапеции равна расстоянию от точки \(M\) до прямой \(AB\). В основании расстояние от середины \(A_1C_1\) до направления \(AB\) равно половине высоты равностороннего треугольника со стороной \(6\):

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Боковое ребро призмы равно \(4\), поэтому высота трапеции:

\[h=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2+4^2}=\sqrt{\frac{27}{4}+16}=\frac{\sqrt{91}}{2}\]

Площадь сечения:

\[S=\frac{AB+MN}{2}\cdot h=\frac{6+3}{2}\cdot\frac{\sqrt{91}}{2}=\frac{9\sqrt{91}}{4}\]

Ответ: \(\frac{9\sqrt{91}}{4}\).

0 0 Пожаловаться