В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30°. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро; в) площадь полной поверхности пирамиды.
С чертежом.

Пусть \(S\) — вершина пирамиды, \(O\) — центр квадратного основания, \(A\) — вершина основания, \(M\) — середина его стороны. Тогда \(SO\perp(ABCD)\), а угол между ребром \(SA\) и плоскостью основания равен углу \(SAO=30^\circ\).

Схема сечения \(SAO\):

Диагональ квадрата основания равна \(8\sqrt{2}\), поэтому

\[AO=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}.\]

а) Высота пирамиды:

\[\tan30^\circ=\frac{SO}{AO},\qquad SO=4\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\ \text{см}.\]

б) Боковое ребро:

\[\cos30^\circ=\frac{AO}{SA},\qquad SA=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2}=\frac{8\sqrt{6}}{3}\ \text{см}.\]

в) Площадь полной поверхности:

Апофема \(SM\) — высота боковой грани. Так как \(OM=4\),

\[SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{\frac{32}{3}+16}=\frac{4\sqrt{15}}{3}.\]

Площадь одной боковой грани равна \(\frac12\cdot8\cdot SM\), поэтому площадь всех четырёх граней:

\[S_{\text{бок}}=4\cdot\frac12\cdot8\cdot\frac{4\sqrt{15}}{3}=\frac{64\sqrt{15}}{3}.\]

Площадь основания: \(S_{\text{осн}}=8^2=64\). Следовательно,

\[S_{\text{полн}}=64+\frac{64\sqrt{15}}{3}=\frac{64(3+\sqrt{15})}{3}\ \text{см}^2.\]

Ответ: \(\frac{4\sqrt{6}}{3}\) см; \(\frac{8\sqrt{6}}{3}\) см; \(\frac{64(3+\sqrt{15})}{3}\) см².

0 0 Пожаловаться