Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=24, CM=18. Найдите ON.

Задача состоит в том, чтобы найти длину отрезка ON, где точки M и N — середины сторон треугольника ABC, а отрезки AN и CM пересекаются в точке O.

1. Определим, что известно:

   • M — середина стороны AB треугольника ABC.
   • N — середина стороны BC.
   • Отрезки AN и CM пересекаются в точке O.
   • Длины отрезков: AN = 24, CM = 18.

2. Используем теорему о средней линии: В треугольнике, если точка является серединой стороны, то отрезок, соединяющий эти точки, будет параллелен другой стороне треугольника и его длина будет равна половине длины этой стороны.

   В данном случае точки M и N — середины сторон треугольника. Поэтому отрезок MN будет параллелен стороне AC и его длина будет равна половине длины стороны AC.

3. Применим принцип подобия треугольников: Треугольники ANM и CNM будут подобны (это следует из того, что MN — средняя линия, параллельная стороне AC, и оба треугольника имеют общий угол при точке N).

   Поскольку отрезки AN и CM пересекаются в точке O, точка O делит отрезки AN и CM на определенные части. Мы можем применить свойство пересекающихся медиан.

4. Используем теорему о пересечении медиан: Когда две медианы пересекаются в треугольнике, они делят друг друга в отношении 2:1. Это означает, что точка пересечения медиан делит каждую медиану на две части, одна из которых в два раза длиннее другой.

   Таким образом, точка O делит отрезок AN в отношении 2:1, где большая часть — это отрезок AO, а меньшая — это отрезок ON.

5. Рассчитаем длину ON: Поскольку AN = 24, то точка O делит его в отношении 2:1. Таким образом, длина ON будет равна $\frac{1}{3}$ от длины AN:

   $$ON = \frac{1}{3} \times 24 = 8$$

Ответ: длина отрезка ON равна 8.