Тема: теорема о трёх перпендикулярах.
РО перпен. (АВС)
АС = 6, ВС = 8, АВ = 10
РМ перпен. АС
РN перпен. ВС
РК перпен. АВ
РМ = PN = PK = √20
Найти РО.

Так как \(AC=6\), \(BC=8\), \(AB=10\), треугольник \(ABC\) прямоугольный: \(6^2+8^2=10^2\).

По теореме о трёх перпендикулярах расстояния \(PM\), \(PN\), \(PK\) связаны с расстоянием \(PO\) и расстоянием от точки \(O\) до соответствующих сторон треугольника. Поскольку \(PM=PN=PK\), точка \(O\) равноудалена от всех сторон \(ABC\), значит, это центр вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:

\[r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2.\]

Тогда:

\[PM^2=PO^2+r^2,\]

\[20=PO^2+2^2,\]

\[PO^2=16,\qquad PO=4.\]

Ответ: \(PO=4\).

0 0 Пожаловаться