Здравствуйте, я не прошу решения, оно у меня есть, я прошу грамотного объяснения, почему эта задача решается именно так. В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 4√15, cos A = 0,25. Найдите высоту СН (проведённую из угла С). Там прилагается ещё рисунок. Решение там написано такое: Углы А и НСВ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. СН = АС sin A = AB cos A * sin A = AB cos A √(1 - cos^2 A) = 4√15 * 1/4 * √15/4 = 3,75. Проблема в том, что я не понимаю этого решения, почему они решают именно так, какие формулы используют. Спасибо огромное заранее.

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, значит \(AB\) — гипотенуза. Высота \(CH\) опущена на гипотенузу \(AB\).

По определению косинуса в треугольнике \(ABC\):

\[\cos A=\frac{AC}{AB}\]

Отсюда \(AC=AB\cos A\). Это нужно, чтобы найти катет \(AC\):

\[AC=4\sqrt{15}\cdot\frac14=\sqrt{15}\]

Теперь рассмотрим маленький прямоугольный треугольник \(ACH\). Угол при вершине \(A\) в нём такой же, как угол \(A\) большого треугольника, потому что точки \(A\), \(H\) и \(B\) лежат на одной прямой. В этом треугольнике \(AC\) — гипотенуза, а \(CH\) — катет, лежащий напротив угла \(A\). Поэтому:

\[\sin A=\frac{CH}{AC}\]

Значит, \(CH=AC\sin A\).

Синус находят по основному тригонометрическому тождеству:

\[\sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\sqrt{1-\left(\frac14\right)^2}=\frac{\sqrt{15}}4\]

Подставляем:

\[CH=\sqrt{15}\cdot\frac{\sqrt{15}}4=\frac{15}{4}=3{,}75\]

Ответ: \(CH=3{,}75\).

0 0 Пожаловаться