Ребро правильной четырёхугольной пирамиды, равное 12, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём пирамиды.
-----------------------------------------------------------
Образующая конуса равна 10, площадь боковой поверхности равна 60π. Найдите высоту конуса.

1. Правильная четырёхугольная пирамида

Высота пирамиды:

\[h=12\sin 60^\circ=6\sqrt{3}.\]

Радиус описанной около основания окружности:

\[R=12\cos 60^\circ=6.\]

Сторона квадрата основания равна \(a=R\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), поэтому его площадь:

\[S_{осн}=a^2=72.\]

Тогда объём:

\[V=\frac{1}{3}S_{осн}h=\frac{1}{3}\cdot72\cdot6\sqrt{3}=144\sqrt{3}.\]

Ответ: \(144\sqrt{3}\).

2. Конус

Площадь боковой поверхности конуса:

\[S_{бок}=\pi rl.\]

Отсюда радиус основания:

\[r=\frac{60\pi}{\pi\cdot10}=6.\]

По теореме Пифагора:

\[h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.\]

Ответ: \(8\).

0 0 Пожаловаться