Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
С рисунком пожалуйста

Задача о правильной четырехугольной пирамиде. Разберемся по частям.

Дано:

• Боковое ребро пирамиды равно 4 см.
• Боковое ребро образует угол 45° с плоскостью основания.

В данной задаче нужно найти:

1. Высоту пирамиды.
2. Площадь боковой поверхности пирамиды.

Часть а) Найдем высоту пирамиды

Предположим, что вершина пирамиды — это точка $A$, а основание пирамиды — квадрат $ABCD$.

• Пусть $O$ — центр квадрата основания, который также является проекцией вершины пирамиды на плоскость основания.
• Боковое ребро $AB = 4$ см.
• Из условия, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, мы можем воспользоваться тригонометрией.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$, где:

   • $AO$ — высота пирамиды, которую нам нужно найти.
   • $AB$ — боковое ребро, равно 4 см.
   • $\angle OAB = 45^\circ$.

2. В прямоугольном треугольнике $AOB$ можем использовать синус угла 45° для нахождения высоты $AO$:

   $$\sin(45^\circ) = \frac{AO}{AB} = \frac{AO}{4}$$

   Из этого уравнения получаем:

   $$AO = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

   Таким образом, высота пирамиды $h = 2\sqrt{2}$ см.

Часть б) Найдем площадь боковой поверхности

Для этого нужно сначала найти площадь одного треугольника, который является боковой гранью пирамиды, а затем умножить на 4 (так как у пирамиды 4 боковых грани).

1. Площадь одного треугольника можно найти по формуле для площади треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высоту}$$
   • Основанием треугольника будет длина бокового ребра пирамиды $AB = 4$ см.
   • Высотой треугольника будет расстояние от вершины пирамиды до середины бокового ребра, то есть высота $AO$, равная $2\sqrt{2}$ см.

   Подставляем в формулу:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

2. Так как у пирамиды 4 боковых грани, общая площадь боковой поверхности будет:

   $$S_{\text{бок}} = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$$

   Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна $16\sqrt{2}$ см².

Рисунок:

Хотя я не могу нарисовать рисунок здесь, представьте, что у вас есть квадратное основание, и из каждой вершины квадрата поднимается боковое ребро, которое соединяется с вершиной пирамиды, образуя треугольники. Эти треугольники и являются боковыми гранями. Высота пирамиды — это перпендикуляр, проведенный от вершины пирамиды до центра основания.

Итак, итоговые ответы:

• Высота пирамиды: $2\sqrt{2}$ см.
• Площадь боковой поверхности: $16\sqrt{2}$ см².