Сторона основания правильной треугольной пирамиды 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45°. Найти площадь полной поверхности.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды:

\[S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3^2\sqrt3}{4}=\frac{9\sqrt3}{4}\]

Расстояние от центра основания до его стороны равно радиусу вписанной окружности:

\[OM=\frac{a\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\]

Угол между боковой гранью и основанием равен \(45^\circ\), поэтому высота боковой грани:

\[SM=\frac{\sqrt6}{2}\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}}=\frac{P\cdot SM}{2}=\frac{9\cdot\sqrt6/2}{2}=\frac{9\sqrt6}{4}\]

Тогда площадь полной поверхности:

\[S_{\text{полн}}=\frac{9\sqrt3}{4}+\frac{9\sqrt6}{4}=\frac{9(\sqrt3+\sqrt6)}{4}\text{ см}^2\]

Ответ: \(\frac{9(\sqrt3+\sqrt6)}{4}\text{ см}^2\).

0 0 Пожаловаться