Высота правильной треугольной пирамиды равна a√3, радиус окружности, описанной около её основания,

Ответы на вопрос

Отвечает Чекменев Александр.

Для начала определим геометрические параметры правильной треугольной пирамиды. Пусть её основание — правильный треугольник, высота пирамиды $h = a\sqrt{3}$ , радиус окружности, описанной около основания пирамиды, $R = 2a$ . Нам нужно найти следующие параметры:

а) Апофема пирамиды

Апофема — это расстояние от вершины пирамиды до середины ребра основания. Для правильной треугольной пирамиды апофема также является высотой боковой грани.

В правильной треугольной пирамиде радиус окружности, описанной около её основания, связан с длиной стороны основания $s$ следующим образом:

R = \frac{s}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad s = \sqrt{3}R = \sqrt{3} \times 2a = 2a\sqrt{3}.

Теперь найдём апофему $l$ , используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания:

l^2 = \left( \frac{s}{2} \right)^2 + h^2.

Подставим значения:

l^2 = \left( \frac{2a\sqrt{3}}{2} \right)^2 + (a\sqrt{3})^2 = (a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{3})^2 = 3a^2 + 3a^2 = 6a^2.

Тогда апофема:

l = \sqrt{6}a.

б) Угол между боковой гранью и основанием

Этот угол можно найти, используя тангенс угла между плоскостью основания и боковой гранью. Важно заметить, что боковая грань является треугольником с основанием $s$ и высотой $h$ . Угол между боковой гранью и основанием — это угол между высотой пирамиды и апофемой.

Для нахождения угла между боковой гранью и основанием, обозначим его как $\theta$ . Мы знаем, что:

\tan(\theta) = \frac{h}{\frac{s}{2}}.

Подставляем значения:

\tan(\theta) = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}} = 1.

Таким образом, угол:

\theta = 45^\circ.

в) Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности пирамиды — это сумма площадей всех боковых граней. В правильной треугольной пирамиде есть три боковые грани, и каждая из них — это равнобедренный треугольник с основанием $s$ и высотой $l$ .

Площадь одной боковой грани:

S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \times s \times l.

Площадь всей боковой поверхности:

S_{\text{боковой поверхности}} = 3 \times \frac{1}{2} \times s \times l = \frac{3}{2} \times 2a\sqrt{3} \times \sqrt{6}a = 3a^2 \sqrt{18} = 9a^2.

г) Плоский угол при вершине пирамиды

Плоский угол при вершине пирамиды — это угол между двумя боковыми гранями. Этот угол можно найти, используя отношения между высотой пирамиды и апофемой.

Для нахождения угла между боковыми гранями используем формулу для угла между двумя прямыми, проходящими через вершину пирамиды и перпендикулярными к основанию:

\cos(\alpha) = \frac{h}{\sqrt{l^2 + h^2}}.

Подставляем значения:

\cos(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{6a^2 + 3a^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{9a^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{3a} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Ответы на вопрос

а) Апофема пирамиды

б) Угол между боковой гранью и основанием

в) Площадь боковой поверхности

г) Плоский угол при вершине пирамиды

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия