Геометрия 10 класс! Дам 30 баллов! Сторона правильной треугольной пирамиды 3 см, а угол между

Ответы на вопрос

Отвечает Людвикевич Арина.

Дано: правильная треугольная пирамида $SABC$ , основание $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $3$ см. Угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$ .

Рисунок-схема:


             S
            /|\
           / | \
          /  |  \
         /   |   \
        A----M----B
         \   |   /
          \  O  /
           \ | /
             C

Здесь:

$O$ — центр основания,
$M$ — середина стороны $AB$ ,
$SM$ — высота боковой грани,
$OM$ — радиус вписанной окружности основания,
$\angle SMO = 45^\circ$ — угол между боковой гранью и основанием.

Так как основание — равносторонний треугольник со стороной $a = 3$ , то радиус вписанной окружности основания:

OM = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}

Подставим $a = 3$ :

OM = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ . В нём угол при $M$ равен $45^\circ$ . Тогда:

\cos 45^\circ = \frac{OM}{SM}

\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{SM}

Отсюда:

SM = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}

SM = \frac{\sqrt{6}}{2}

Теперь найдём площадь одной боковой грани. Боковая грань — треугольник с основанием $AB = 3$ и высотой $SM = \frac{\sqrt{6}}{2}$ :

S_{\text{бок. грани}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}

S_{\text{бок. грани}} = \frac{3\sqrt{6}}{4}

Таких боковых граней три, значит площадь боковой поверхности:

S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{3\sqrt{6}}{4}

S_{\text{бок}} = \frac{9\sqrt{6}}{4}

Теперь найдём площадь основания. Основание — равносторонний треугольник:

S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

S_{\text{осн}} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4}

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия