В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 4, A1D1 = 6, C1D1 = 6, найдите синус угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B1C1.
(С рисунком, если возможно.)

Выберем координаты: \( A(0;0;0) \), \( B(6;0;0) \), \( D(0;6;0) \), \( A_1(0;0;4) \). Тогда плоскость \( ADD_1 \) имеет уравнение \( x = 0 \).

Точка \( E \) — середина ребра \( AB \), значит \( E(3;0;0) \). Точка \( F \) — середина ребра \( B_1C_1 \), значит \( F(6;3;4) \).

Направляющий вектор прямой \( EF \):

\[ \overrightarrow{EF} = (6 - 3; 3 - 0; 4 - 0) = (3;3;4). \]

Нормаль к плоскости \( ADD_1 \): \( \vec n = (1;0;0) \). Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю проекции направляющего вектора на нормаль, делённому на длину вектора:

\[ \sin \alpha = \frac{|3|}{\sqrt{3^2 + 3^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{34}}. \]

Ответ: \( \frac{3}{\sqrt{34}} \).

0 0 Пожаловаться