Геометрия, 10 класс. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ дано: AB = BC = 4√2, BD₁ = 16 см. Найдите: а) расстояние между прямыми BD₁ и AA₁; б) угол между прямой BD₁ и плоскостью ABC.

Введём систему координат: \(A(0;0;0)\), \(B(4\sqrt{2};0;0)\), \(C(4\sqrt{2};4\sqrt{2};0)\), \(D(0;4\sqrt{2};0)\), \(A_1(0;0;h)\). Из условия \(BD_1 = 16\) найдём высоту \(h\):

\[BD_1 = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 + h^2} = \sqrt{32+32+h^2} = \sqrt{64+h^2} = 16 \Rightarrow 64+h^2 = 256 \Rightarrow h^2 = 192 \Rightarrow h = 8\sqrt{3}.\]

а) Расстояние между прямыми \(BD_1\) и \(AA_1\). Прямая \(AA_1\) совпадает с осью \(Oz\), её направляющий вектор \(\vec{k}=(0;0;1)\). Направляющий вектор \(BD_1\): \(\vec{v} = (-4\sqrt{2};4\sqrt{2};8\sqrt{3})\). Расстояние между скрещивающимися прямыми:

\[d = \frac{|(\vec{B} - \vec{A})\cdot(\vec{k}\times\vec{v})|}{|\vec{k}\times\vec{v}|}.\]

\(\vec{k}\times\vec{v} = (-4\sqrt{2};-4\sqrt{2};0)\), \(|\vec{k}\times\vec{v}| = \sqrt{32+32}=8\). \(\vec{B} - \vec{A} = (4\sqrt{2};0;0)\). Скалярное произведение: \(4\sqrt{2}\cdot(-4\sqrt{2}) = -32\). Модуль: 32. Тогда \(d = 32/8 = 4\) см.

б) Угол между \(BD_1\) и плоскостью \(ABC\). Плоскость \(ABC\) — это плоскость \(Oxy\), её нормаль \(\vec{n}=(0;0;1)\). Угол \(\alpha\) между прямой и плоскостью находится через синус: \(\sin\alpha = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{n}|} = \frac{h}{16} = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, \(\alpha = 60^\circ\).

0 0 Пожаловаться