В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер AB=8, AD=6, AA1=14. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, B1 и D.

Для того чтобы найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, B1 и D, нужно сначала построить векторное представление сечения и затем вычислить его площадь.

1. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с заданными длинами ребер:

   • AB = 8,

   • AD = 6,

   • AA1 = 14.

   Для упрощения восприятия, можно расположить параллелепипед в трехмерной системе координат так, чтобы:

   • Точка A = (0, 0, 0),

   • Точка B = (8, 0, 0),

   • Точка D = (0, 6, 0),

   • Точка A1 = (0, 0, 14),

   • Точка B1 = (8, 0, 14),

   • Точка D1 = (0, 6, 14).

2. Определим координаты точек, через которые проходит плоскость:

   • Точка B = (8, 0, 0),

   • Точка B1 = (8, 0, 14),

   • Точка D = (0, 6, 0).

3. Теперь нужно найти два вектора, которые лежат в плоскости сечения. Эти векторы можно получить, вычитая координаты точек:

   • Вектор B1B = B1 - B = (8, 0, 14) - (8, 0, 0) = (0, 0, 14),

   • Вектор DB = B - D = (8, 0, 0) - (0, 6, 0) = (8, -6, 0).

4. Для того чтобы найти площадь треугольника, образованного точками B, B1 и D, нужно вычислить векторное произведение этих двух векторов:

   • Векторное произведение B1B × DB:

   $$\text{det} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 14 \\ 8 & -6 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 0 - 14 \cdot (-6)) - \hat{j}(0 \cdot 0 - 14 \cdot 8) + \hat{k}(0 \cdot (-6) - 0 \cdot 8)$$ $$= \hat{i}(84) - \hat{j}(-112) + \hat{k}(0)$$ $$= 84\hat{i} + 112\hat{j}$$

   Векторное произведение дает вектор (84, 112, 0).

5. Теперь находим его длину:

   $$\text{Длина вектора} = \sqrt{84^2 + 112^2} = \sqrt{7056 + 12544} = \sqrt{19600} = 140.$$

6. Площадь треугольника будет равна половине длины векторного произведения:

   $$\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 140 = 70.$$

Таким образом, площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, B1 и D, равна 70 квадратных единиц.