Точка M — середина боковой стороны BC трапеции ABCD. Докажите, что площадь трапеции вдвое больше суммы площадей треугольников ABM и DCM.

Диагональ \(BC\) делит трапецию \(ABCD\) на два треугольника: \(ABC\) и \(DCB\).

Так как \(M\) — середина стороны \(BC\), то \(BM=MC\). Треугольники \(ABM\) и \(ABC\) имеют общую высоту, проведённую из точки \(A\) к прямой \(BC\), поэтому

\[S_{ABM}=\frac{1}{2}S_{ABC}.\]

Так же треугольники \(DCM\) и \(DCB\) имеют общую высоту, проведённую из точки \(D\) к прямой \(BC\), поэтому

\[S_{DCM}=\frac{1}{2}S_{DCB}.\]

Сложим равенства:

\[S_{ABM}+S_{DCM}=\frac{1}{2}(S_{ABC}+S_{DCB})=\frac{1}{2}S_{ABCD}.\]

Значит, площадь трапеции вдвое больше суммы площадей треугольников \(ABM\) и \(DCM\).

0 0 Пожаловаться