Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK:KC = 1:2.
а) Докажите, что угол ∠BAC = 30°.
б) Пусть прямые MK и BC пересекаются в точке P, а прямые AP и BK — в точке Q. Найдите KQ, если BC = 2√3.

Пусть \(C=(0,0)\), \(A=(a,0)\), \(B=(0,b)\). Тогда \(AC=a\), \(BC=b\), а \(M=\left(\frac a2,\frac b2\right)\).

Прямая \(CM\) имеет угловой коэффициент \(\frac ba\), поэтому перпендикулярная ей прямая \(MK\) имеет угловой коэффициент \( -\frac ab\). Из условия пересечения с \(AC\) получаем \(KC=\frac{a^2+b^2}{2a}\), \(AK=\frac{a^2-b^2}{2a}\).

Так как \(AK:KC=1:2\), то
\[\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac12.\]
Отсюда \(a^2=3b^2\), значит \(AC=\sqrt3\,BC\). Следовательно, \(\tan\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac1{\sqrt3}\), поэтому \(\angle BAC=30^\circ\).

При \(BC=2\sqrt3\) имеем \(AC=6\). Тогда можно взять координаты: \(A=(6,0)\), \(B=(0,2\sqrt3)\), \(K=(4,0)\), \(M=(3,\sqrt3)\). Прямая \(MK\) пересекает \(BC\) в точке \(P=(0,4\sqrt3)\). Пересечение прямых \(AP\) и \(BK\): \(Q=(12,-4\sqrt3)\).

Тогда
\[KQ=\sqrt{(12-4)^2+(-4\sqrt3)^2}=\sqrt{112}=4\sqrt7.\]

Ответ: \(KQ=4\sqrt7\).

0 0 Пожаловаться