Доказать, что прямая AM — касательная к окружности, AB — хорда этой окружности. Докажите, что угол MAB измеряется половиной дуги AB, расположенной внутри угла MAB.

Пусть \(O\) — центр окружности, а дуга \(AB\), расположенная внутри угла \(MAB\), имеет градусную меру \(\alpha\). Тогда центральный угол \(AOB\) также равен \(\alpha\).

Радиусы \(OA\) и \(OB\) равны, поэтому треугольник \(AOB\) равнобедренный. Его угол при основании:

\[ \angle OAB=\frac{180^\circ-\alpha}{2}. \]

Касательная \(AM\) перпендикулярна радиусу \(OA\), значит \(\angle MAO=90^\circ\). Поэтому

\[ \angle MAB=90^\circ-\angle OAB=90^\circ-\frac{180^\circ-\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}. \]

Следовательно, угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключённой внутри этого угла.

0 0 Пожаловаться