Помогите решить, тема «Градусная мера дуги. Центральный и вписанный углы».
1. Найдите градусную меру дуги AB, если хорда AB равна радиусу окружности.
2. Найдите вписанный угол KLM, если дуга KM, на которую он опирается, равна 38 градусам.
3. Точки M, N, K принадлежат окружности с центром в точке A, причём угол MAN + угол MKN = 180 градусам. Найдите угол MKN.
4. Хорда делит окружность в отношении 5 : 13. Найдите величину меньшего вписанного угла, опирающегося на эту хорду.
5. Найдите градусную меру вписанного в окружность угла ABC, если дуга AB = 130 градусам, а дуга BC = 86 градусам.

1. Найдите градусную меру дуги AB, если хорда AB равна радиусу окружности.

Пусть O — центр окружности. Тогда:

OA = OB = AB,

так как OA и OB — радиусы, а по условию хорда AB тоже равна радиусу.

Значит, треугольник AOB равносторонний, поэтому центральный угол:

∠AOB = 60°.

Градусная мера дуги равна соответствующему центральному углу, следовательно:

дуга AB = 60°.

2. Найдите вписанный угол KLM, если дуга KM равна 38°.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается:

∠KLM = 38° : 2 = 19°.

Ответ: 19°.

3. Точки M, N, K принадлежат окружности с центром в точке A, причем ∠MAN + ∠MKN = 180°. Найдите ∠MKN.

Угол MAN — центральный угол, а угол MKN — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу MN.

Центральный угол в два раза больше вписанного:

∠MAN = 2∠MKN.

Обозначим:

∠MKN = x.

Тогда:

∠MAN = 2x.

По условию:

2x + x = 180°,

3x = 180°,

x = 60°.

Ответ: ∠MKN = 60°.

4. Хорда делит окружность в отношении 5 : 13. Найдите величину меньшего вписанного угла, опирающегося на эту хорду.

Хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 5 : 13.

Всего:

5 + 13 = 18 частей.

Одна часть:

360° : 18 = 20°.

Меньшая дуга:

5 · 20° = 100°.

Большая дуга:

13 · 20° = 260°.

Вписанные углы, опирающиеся на эту хорду, могут быть равны:

100° : 2 = 50°

и

260° : 2 = 130°.

Меньший из них:

50°.

5. Найдите градусную меру вписанного в окружность угла ABC, если дуга AB = 130°, а дуга BC = 86°.

Угол ABC опирается на дугу AC, которая не содержит точку B.

Сначала найдем дугу от A до C, проходящую через B:

130° + 86° = 216°.

Тогда другая дуга AC равна:

360° − 216° = 144°.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

∠ABC = 144° : 2 = 72°.

Ответ: 72°.

Итоговые ответы:

1. 60°

2. 19°

3. 60°

4. 50°

5. 72°