Точки М и Н лежат соответственно на сторонах АВ и АС треугольника АВС , причем АМ:МВ=2:3, АН:НС=2:3.Найдите площадь треугольника АМН, если площадь треугольника АВС равна 75см2

Для решения задачи нужно использовать свойства пропорций и площади треугольников. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$, площадь которого равна 75 см², и точки М и Н, которые делят стороны $AB$ и $AC$ соответственно в отношении 2:3.

Шаг 1: Разбиение сторон треугольника

Точки М и Н делят стороны $AB$ и $AC$ в отношении 2:3. Это значит, что:

• $AM = \frac{2}{5}$ от длины $AB$, так как отношение $AM:MB = 2:3$,
• $AN = \frac{2}{5}$ от длины $AC$, так как отношение $AN:NC = 2:3$.

Шаг 2: Рассмотрим площади треугольников

Так как точки М и Н делят стороны треугольника $\triangle ABC$, то треугольник $\triangle AMN$ образуется пересечением этих делений. Площадь треугольника $\triangle AMN$ будет пропорциональна площади треугольника $\triangle ABC$, причем пропорция зависит от того, как точки М и Н делят стороны.

Шаг 3: Коэффициент пропорциональности

Площадь треугольника пропорциональна квадрату линейных размеров, если все соответствующие размеры пропорциональны. Поскольку точка М делит сторону $AB$ в отношении 2:3, а точка Н — сторону $AC$ также в отношении 2:3, то можно сказать, что треугольник $\triangle AMN$ будет подобен треугольнику $\triangle ABC$, и коэффициент подобия между ними будет равен $\frac{2}{5}$.

Шаг 4: Площадь треугольника $\triangle AMN$

Площадь треугольника $\triangle AMN$ будет пропорциональна квадрату коэффициента подобия. То есть, площадь треугольника $\triangle AMN$ будет равна:

где $S_{ABC} = 75 \, \text{см}^2$.

Подставим значения:

Ответ:

Площадь треугольника $\triangle AMN$ равна 12 см².