В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ:АВ=1:2, а ВК:ВС=2:3. во сколько раз площадь треугольника АВС больше площади треугольника МВК?

Для того чтобы ответить на вопрос, начнем с анализа соотношений между сторонами треугольников и попробуем выразить площади исходя из этих пропорций.

Шаг 1: Разделение сторон треугольника на части

1. На стороне $AB$ точка $M$ делит сторону так, что $BM : AB = 1:2$. Это означает, что длина отрезка $BM$ составляет одну треть от всей длины $AB$, то есть $BM = \frac{1}{3} AB$, а $AM = \frac{2}{3} AB$.

2. На стороне $BC$ точка $K$ делит сторону так, что $BK : BC = 2:3$. Это означает, что длина отрезка $BK$ составляет две трети от длины $BC$, то есть $BK = \frac{2}{3} BC$, а $KC = \frac{1}{3} BC$.

Шаг 2: Используем отношение площадей

Нам нужно найти, во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$. Для этого воспользуемся тем, что площадь треугольника пропорциональна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Однако в нашем случае удобнее использовать отношения сторон для вычисления площадей через подобие треугольников.

Шаг 3: Анализ подобия треугольников

Треугольники $ABC$ и $MBK$ не подобны, но они имеют общую вершину $B$. Чтобы найти отношение их площадей, можно воспользоваться следующим фактом: площадь треугольника определяется не только длиной сторон, но и высотами, опущенными на эти стороны.

Пусть высота, опущенная из точки $B$ на сторону $AC$, одинакова как для треугольника $ABC$, так и для треугольника $MBK$, так как оба треугольника лежат на одном и том же основании (относительно общего угла $B$).

Теперь выразим площади треугольников через пропорции сторон:

• Длина стороны $AB$ в треугольнике $MBK$ — это треть от $AB$, то есть $BM = \frac{1}{3} AB$.
• Длина стороны $BC$ в треугольнике $MBK$ — это две трети от $BC$, то есть $BK = \frac{2}{3} BC$.

Площадь треугольника $ABC$ пропорциональна произведению сторон $AB$ и $BC$, то есть $S_{ABC} \propto AB \times BC$.

Площадь треугольника $MBK$ пропорциональна произведению сторон $BM$ и $BK$, то есть $S_{MBK} \propto BM \times BK$. Подставим длины отрезков:

Шаг 4: Вычисление отношения площадей

Отношение площадей треугольников $ABC$ и $MBK$ равно отношению соответствующих произведений сторон:

Итак, площадь треугольника $ABC$ в $\frac{9}{2}$, или 4,5 раза больше площади треугольника $MBK$.

Ответ:

Площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$ в 4,5 раза.