В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены две биссектрисы AP и CK. докажите что треугольники AKC и CPA равны

Давайте пошагово докажем, что треугольники $AKC$ и $CPA$ в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$, в котором проведены биссектрисы $AP$ и $CK$, равны.

1. Обозначения и гипотезы:

   • Пусть треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$.
   • Проведены биссектрисы $AP$ и $CK$, которые пересекаются в точке $I$, которая является инцентром треугольника $ABC$.
   • Требуется доказать, что треугольники $AKC$ и $CPA$ равны.

2. Биссектрисы и их свойства:

   • Биссектрисы углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ делят противоположные углы пополам.
   • Биссектрисы пересекаются в инцентре треугольника $I$, который является центром вписанной окружности.

3. Общие стороны треугольников:

   • Рассмотрим стороны треугольников $AKC$ и $CPA$.
   • В треугольниках $AKC$ и $CPA$ общими являются стороны $AC$, поскольку это основание равнобедренного треугольника $ABC$.

4. Равенство углов:

   • Рассмотрим углы $\angle AKC$ и $\angle CPA$.
     • Так как биссектрисы $AP$ и $CK$ делят углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ пополам, то угол $\angle AKC$ равен углу $\angle CPA$ по свойствам биссектрис.

5. Применение свойства равнобедренного треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны. Это означает, что точки $P$ и $K$, на которых пересекаются биссектрисы, делят стороны треугольника таким образом, что создаются равные углы в треугольниках $AKC$ и $CPA$.

6. Доказательство равенства треугольников: Теперь, имея общую сторону $AC$, равенство углов $\angle AKC = \angle CPA$ и равенство углов $\angle KAC = \angle CAP$ (так как биссектрисы делят углы пополам), мы можем применить критерий равенства треугольников по двум углам и одной стороне (УСУ).

Таким образом, треугольники $AKC$ и $CPA$ равны по критерию УСУ, что и требовалось доказать.