Через основание АД трапеции АВСД проведена плоскость а.ВС не лежит в плоскости а.докажите,что прямая ,проходящая через середины сторон АВ и СД,параллельна плоскости а.

Задача требует доказательства того, что прямая, проходящая через середины сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$, параллельна плоскости $\alpha$, проведённой через основание $AD$ этой трапеции.

Дано:

• Трапеция $ABCD$, где $AB \parallel CD$ и $AB$ и $CD$ — её основания.
• Плоскость $\alpha$ проходит через основание $AD$.
• Прямая, соединяющая середины сторон $AB$ и $CD$, должна быть доказана как параллельная плоскости $\alpha$.

Доказательство:

1. Обозначения и геометрия: Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. Прямая, соединяющая точки $M$ и $N$, называется медианой трапеции.

2. Свойства трапеции: Поскольку трапеция имеет два параллельных основания $AB$ и $CD$, медиана $MN$, соединяющая середины этих сторон, будет параллельна этим основаниям. Это означает, что прямая $MN$ будет параллельна прямым $AB$ и $CD$.

3. Плоскость $\alpha$ и её расположение: Плоскость $\alpha$ проведена через основание $AD$, что означает, что эта плоскость содержит прямую $AD$. Важно отметить, что $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$, что может быть использовано для выявления взаимного расположения плоскости и прямой $MN$.

4. Параллельность прямой $MN$ и плоскости $\alpha$: Так как прямая $MN$ параллельна основаниям трапеции $AB$ и $CD$, а основания трапеции лежат в плоскости, которая пересекает прямую $AD$, то можно утверждать, что прямая $MN$ также будет параллельна плоскости $\alpha$.

   Дело в том, что медиана $MN$ в трапеции, будучи параллельной основаниям, также будет параллельна всем плоскостям, которые содержат эти основания или которые пересекаются с ними, как, например, плоскость $\alpha$, проходящая через $AD$. Плоскости, параллельные одной прямой, не могут иметь общих точек с этой прямой, что приводит к выводу, что прямая $MN$ параллельна плоскости $\alpha$.

Заключение: Прямая, соединяющая середины сторон $AB$ и $CD$ трапеции, действительно параллельна плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.