ПОМОГИТЕЕЕ
1. Одна из сторон параллелограмма в 6 раз больше другой, а его периметр равен 84 см. Найдите стороны параллелограмма.


2. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О,

AD = 18 см, BD =22 см. Найдите периметр треугольника ВОС.


3. Один из углов ромба равен 132°. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.


4. На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки N и Р так, что AВN = CDP (точка N лежит между точками А и P). Докажите, что ВN=DP.


5. В параллелограмме ABCD биссектриса угла C пересекает сторону АD в точке F, AF:FD=1:5. Найдите периметр параллелограмма, если АD = 18 см.

1. Одна из сторон параллелограмма в 6 раз больше другой, а его периметр равен 84 см. Найдите стороны параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, где $b = 6a$. Поскольку периметр параллелограмма равен $2(a + b)$, составим уравнение:

Подставим $b = 6a$:

Тогда $b = 6a = 36$.

Ответ: стороны параллелограмма $a = 6 \, \text{см}$ и $b = 36 \, \text{см}$.

2. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, $AD = 18 \, \text{см}$, $BD = 22 \, \text{см}$. Найдите периметр треугольника BOC.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно:

Из теоремы Пифагора находим BO:

Теперь найдем периметр треугольника $BOC$:

Ответ: периметр треугольника $BOC = \sqrt{445} + 29 \, \text{см}$.

3. Один из углов ромба равен $132^\circ$. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам. Если один из углов ромба $132^\circ$, то соседний угол равен:

Диагонали делят эти углы пополам, поэтому углы между стороной ромба и диагоналями будут:

Ответ: углы между стороной ромба и его диагоналями равны $66^\circ$ и $24^\circ$.

4. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $N$ и $P$ так, что $\triangle ABN = \triangle CDP$. Докажите, что $BN = DP$.

1. В параллелограмме диагонали делятся пополам, следовательно, их середина совпадает: $O = AC \cap BD$.
2. Поскольку $\triangle ABN \cong \triangle CDP$ (по условию), их соответствующие стороны равны: $AB = CD$ (по свойству параллелограмма), $BN = DP$ (так как соответствующие стороны равны).

Ответ: доказано, что $BN = DP$.

5. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AD$ в точке $F$, $AF : FD = 1 : 5$. Найдите периметр параллелограмма, если $AD = 18 \, \text{см}$.

1. Сначала найдем длины $AF$ и $FD$:

Поскольку $AF : FD = 1 : 5$, то: