Отрезок AB = 45 касается окружности радиуса 60 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Задача состоит в нахождении длины отрезка $AD$, при этом дано, что отрезок $AB = 45$, окружность с радиусом 60 касается этого отрезка в точке $B$, а окружность пересекает отрезок $AO$ в точке $D$.

Разбор задачи:

1. Предположения и основные данные:

   • Окружность с радиусом 60 касается отрезка $AB$ в точке $B$. Это означает, что точка касания окружности и отрезка лежит на $AB$, и радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен отрезку $AB$.
   • Отрезок $AO$ является радиусом окружности, то есть его длина равна 60.

2. Местоположение точек:

   • Поскольку окружность касается отрезка $AB$ в точке $B$, это означает, что $AB$ лежит на касательной к окружности в точке $B$.
   • Отрезок $AO$ — это радиус окружности, который соединяет центр окружности $O$ с точкой на окружности.

3. Предположения о треугольнике и геометрии:

   • Отрезок $AB$ является касательной к окружности в точке $B$, поэтому угол между отрезком $AB$ и радиусом окружности $OB$ равен 90°.
   • Окружность пересекает отрезок $AO$ в точке $D$, и нам нужно найти длину отрезка $AD$.

4. Решение с использованием теоремы о касательной и секущей: Теорема о касательной и секущей говорит, что если из точки $A$ проводится касательная $AB$ к окружности, а также секущая $AO$ пересекает окружность в точке $D$, то произведение отрезков касательной и секущей на внешней части секущей равно квадрату длины касательной. Это записывается как:

   $$AB^2 = AD \cdot AO.$$

   Подставляем известные значения:

   • $AB = 45$,
   • $AO = 60$.

   Получаем уравнение:

   $$45^2 = AD \cdot 60.$$

5. Решаем уравнение:

   $$2025 = AD \cdot 60.$$

   Разделим обе части на 60:

   $$AD = \frac{2025}{60} = 33.75.$$

Ответ:

Длина отрезка $AD$ равна 33.75.