Отрезок AB = 8 касается окружности радиуса 6 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Рассмотрим задачу, где отрезок $AB = 8$ касается окружности с центром $O$ и радиусом $r = 6$ в точке $B$. Окружность пересекает отрезок $AO$ в точке $D$. Требуется найти длину отрезка $AD$.

Шаг 1: Геометрическая интерпретация

• Отрезок $AB = 8$ — это внешний отрезок, который касается окружности в точке $B$. Это значит, что точка $B$ лежит на окружности, а линия $AB$ является касательной к окружности.
• Радиус окружности равен $r = 6$, а центр окружности $O$ находится на перпендикуляре к касательной линии в точке касания $B$.
• Поскольку отрезок $AB$ касается окружности в точке $B$, то $OB$ является радиусом, а следовательно, перпендикулярен касательной $AB$.

Шаг 2: Построение и обозначения

• Поскольку $OB$ — это радиус окружности, его длина равна $6$.
• Отрезок $AB$ — касательная, и его длина равна $8$.
• Также известно, что точка $D$ — это точка пересечения окружности с отрезком $AO$.

Шаг 3: Применение теоремы о касательной

Теорема о касательной к окружности утверждает, что отрезок, соединяющий точку касания с внешней точкой (в данном случае отрезок $AB$), перпендикулярен радиусу окружности, проведенному в точку касания. Таким образом, угол $\angle OBA = 90^\circ$.

Шаг 4: Использование теоремы Пифагора

В треугольнике $OAB$ мы можем применить теорему Пифагора, поскольку $\angle OBA = 90^\circ$:

Подставляем известные значения:

Таким образом, длина отрезка $OA$ равна:

Шаг 5: Рассмотрим отрезок $AD$

Теперь, так как окружность пересекает отрезок $AO$ в точке $D$, отрезок $AD$ — это одна из частей отрезка $AO$. Чтобы найти $AD$, воспользуемся тем, что точка $D$ лежит на окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBD$, где $OB = 6$ — радиус окружности, и $OA = 10$.

По теореме Пифагора в треугольнике $OAD$:

Так как $D$ лежит на окружности, то $OD = 6$. Подставим все известные значения:

Ответ:

Длина отрезка $AD$ равна $8$.