Отрезок ав=45 касается окружности радиуса 60 с центром о в точке в Окружность пересикает отрезок АО в точке Д. Найдите Ад

Давайте подробно разберем задачу.

1. Дано:

   • Отрезок $AB = 45$ касается окружности радиуса $R = 60$ в точке $B$, с центром окружности $O$.
   • Окружность пересекает отрезок $AO$ в точке $D$.

   Требуется найти длину $AD$.

2. Основные свойства касательной и секущей:

   • Касательная к окружности в точке перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
   • Отрезок $AO$ является секущей, пересекающей окружность.

3. Шаг 1. Определяем геометрические отношения:

   • Так как $AB$ касается окружности в точке $B$, точка $B$ лежит на окружности, и $OB = R = 60$.
   • Отрезок $AO$ пересекает окружность в точке $D$, причем точка $D$ лежит между $A$ и $O$.

4. Шаг 2. Теорема Пифагора для треугольника $OAB$: Треугольник $OAB$ прямоугольный (радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$). По теореме Пифагора:

   $$OA^2 = OB^2 + AB^2$$

   Подставляем значения:

   $$OA^2 = 60^2 + 45^2$$ $$OA^2 = 3600 + 2025 = 5625$$ $$OA = \sqrt{5625} = 75$$

   Таким образом, $OA = 75$.

5. Шаг 3. Уравнение окружности и отрезка $AO$: Точка $D$ лежит на окружности. Для определения $AD$, используем свойство секущей: произведение отрезков секущей $AO$, пересекающей окружность, равно квадрату длины касательной $AB$.

   То есть:

   $$AD \cdot AO = AB^2$$

   Подставляем значения:

   $$AD \cdot 75 = 45^2$$ $$AD \cdot 75 = 2025$$ $$AD = \frac{2025}{75}$$ $$AD = 27$$

6. Ответ: Длина $AD = 27$.