Точка A окружности и ее центр О лежат по разные стороны хорды MN. Найдите : 1 ) угол MAN, если угол MON =136°; 2) угол MON, если угол MAN=129°

Задача 1: Найти угол $\angle MAN$, если угол $\angle MON = 136^\circ$.

У нас есть окружность с центром $O$, точка $A$ лежит на окружности, и она, а также центр $O$, расположены по разные стороны хорды $MN$. Углы $\angle MON$ и $\angle MAN$ связаны через центральный и вписанный углы, если рассматривать точку $A$ как точку на окружности.

1. Понимание геометрии:

   • $O$ — центр окружности, значит, $O$ является вершиной центрального угла.
   • $M$ и $N$ — точки на окружности, и $\angle MON$ — центральный угол.
   • $A$ — точка на окружности, и угол $\angle MAN$ — вписанный угол, который опирается на дугу $MN$.

2. Связь между углами:

   • Центральный угол $\angle MON$ равен удвоенному величине вписанного угла, который опирается на ту же дугу. То есть, для дуги $MN$ угол $\angle MON = 2 \cdot \angle MAN$.

3. Решение задачи: Из условия задачи известно, что угол $\angle MON = 136^\circ$. Следовательно:

   $$\angle MON = 2 \cdot \angle MAN$$

   Подставляем значение:

   $$136^\circ = 2 \cdot \angle MAN$$

   Разделим обе части уравнения на 2:

   $$\angle MAN = \frac{136^\circ}{2} = 68^\circ$$

Таким образом, угол $\angle MAN = 68^\circ$.

Задача 2: Найти угол $\angle MON$, если угол $\angle MAN = 129^\circ$.

1. Понимание геометрии: В этой задаче ситуация аналогична предыдущей, только нам известно значение вписанного угла $\angle MAN$, и нужно найти центральный угол $\angle MON$.

2. Связь между углами: Как и в предыдущем случае, центральный угол $\angle MON$ в два раза больше вписанного угла $\angle MAN$, который опирается на ту же дугу $MN$. То есть:

   $$\angle MON = 2 \cdot \angle MAN$$

3. Решение задачи: Подставляем значение $\angle MAN = 129^\circ$:

   $$\angle MON = 2 \cdot 129^\circ = 258^\circ$$

Таким образом, угол $\angle MON = 258^\circ$.