Через точку А проведены диаметр АС и две хорды АВ и АД так, что хорда АВ равна радиусу окружности, точка Д делит полуокружность АС на две равные дуги. Найти углы четырехугольника АВСД, если точки С и Д лежат по разные стороны от диаметра АС. Задача 2. Отрезок ВД - диаметр окружности с центром О. Хорда АС пересекает радиус ОВ под прямым углом и точкой пересечения делит его пополам. Найти углы четырехугольника АВСД и градусные меры дуг АВ, АД, ВС, СД.

Задача 1. Рассмотрим окружность с центром в точке О. Пусть точка А лежит на окружности, и через неё проведены диаметр $АС$ и две хорды $АВ$ и $АД$. У нас есть следующие данные:

1. Хорда $АВ$ равна радиусу окружности.
2. Точка $Д$ делит полуокружность $АС$ на две равные дуги.
3. Точки $С$ и $Д$ лежат по разные стороны от диаметра $АС$.

Задача заключается в нахождении углов четырехугольника $АВСД$.

Решение

1. Рассмотрим диаметр $АС$. Это означает, что угол $\angle AOC = 180^\circ$ (диаметр окружности).

2. Углы в окружности. Поскольку $АВ = r$ (где $r$ — радиус окружности), то треугольник $АВО$ является равнобедренным с основаниями $АО = ОВ = r$. Следовательно, угол $\angle АВО = \angle АОВ = 90^\circ$.

3. Деление полуокружности точкой $Д$. Точка $Д$ делит дугу $АС$ на две равные части. Это означает, что дуга $АД$ равна дуге $ДС$, и, следовательно, угол $\angle АДС = 90^\circ$.

4. Углы четырехугольника $АВСД$:

   • Вершины четырехугольника — это точки $А$, $В$, $С$, $Д$.
   • Угол $\angle АВД$ равен $90^\circ$, так как хорда $АВ$ перпендикулярна радиусу $ОВ$.
   • Угол $\angle СВД$ равен $90^\circ$, так как $В$ лежит на диаметре $ВД$, и по теореме о прямоугольных углах в окружности угол, заключённый между диаметром и любой хордой, равен $90^\circ$.

Таким образом, углы четырехугольника $АВСД$ равны:

Задача 2. У нас есть отрезок $ВД$, который является диаметром окружности с центром в точке $О$. Хорда $АС$ пересекает радиус $ОВ$ под прямым углом и точка пересечения делит радиус пополам. Требуется найти углы четырехугольника $АВСД$ и градусные меры дуг $АВ$, $АД$, $ВС$, $СД$.

Решение

1. Диаметр $ВД$. Отрезок $ВД$ является диаметром, то есть угол $\angle ВОД = 180^\circ$.

2. Хорда $АС$ пересекает радиус $ОВ$ под прямым углом. Это означает, что угол $\angle АОВ = 90^\circ$. Также, точка пересечения делит радиус пополам, то есть $ОА = ОС$.

3. Дуги:

   • Дуга $АВ$. Угол $\angle АОВ = 90^\circ$ означает, что дуга $АВ$ составляет $90^\circ$ (по свойству углов, опирающихся на одну дугу).
   • Дуга $АД$. Поскольку $АС$ перпендикулярна $ОВ$, и $АС$ делит угол $\angle АОВ = 90^\circ$ пополам, дуга $АД$ также будет составлять $90^\circ$.
   • Дуга $ВС$ и два равных сегмента. Поскольку $АС$ делит радиус пополам, дуга $ВС$ будет составлять $90^\circ$, а дуга $СД$ — также $90^\circ$.

4. Углы четырехугольника $АВСД$:

   • $\angle АВД = 90^\circ$, так как $ВД$ — диаметр, и угол между диаметром и любой хордой прямой.
   • $\angle АСВ = 90^\circ$, так как хорда $АС$ перпендикулярна радиусу $ОВ$.
   • $\angle СВД = 90^\circ$, так как угол между хордой $СД$ и диаметром $ВД$ равен прямому.
   • $\angle АДС = 90^\circ$, так как $\angle АСД = 90^\circ$ и в четырехугольнике сумма углов равна $360^\circ$.

Таким образом, углы четырехугольника $АВСД$ равны:

Дуги: