Y=(x+3)²(x+5)-1 найти точку минимума

Ответы на вопрос

Отвечает Грицило Аня.

Для нахождения точки минимума функции $Y = (x+3)^2(x+5) - 1$ , нужно выполнить несколько шагов.

Привести функцию к более простому виду. Раскроем скобки и упростим выражение:

Y = (x+3)^2(x+5) - 1

Для начала раскроем $(x+3)^2$ :

(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

Теперь подставим это в исходное выражение:

Y = (x^2 + 6x + 9)(x+5) - 1

Далее раскроем произведение:

Y = (x^2 + 6x + 9)(x+5) = x^3 + 5x^2 + 6x^2 + 30x + 9x + 45

Y = x^3 + 11x^2 + 39x + 45

Теперь имеем функцию:

Y = x^3 + 11x^2 + 39x + 45 - 1

Упростим:

Y = x^3 + 11x^2 + 39x + 44

Найти производную функции, чтобы найти критические точки. Производная функции $Y = x^3 + 11x^2 + 39x + 44$ будет:

Y' = 3x^2 + 22x + 39

Решаем уравнение:

3x^2 + 22x + 39 = 0

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

где $a = 3$ , $b = 22$ , и $c = 39$ .

Вычислим дискриминант:

\Delta = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 39 = 484 - 468 = 16

Теперь подставим значения в формулу:

x = \frac{-22 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-22 \pm 4}{6}

Получаем два корня:

x_1 = \frac{-22 + 4}{6} = \frac{-18}{6} = -3

x_2 = \frac{-22 - 4}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}

Проверить, какая из этих точек является минимумом. Для этого исследуем знак второй производной функции $Y' = 3x^2 + 22x + 39$ :

Найдем вторую производную:

Y'' = 6x + 22

Теперь подставим оба значения $x$ :

Y''(-3) = 6(-3) + 22 = -18 + 22 = 4

Ответы на вопрос