Даны точки А (1;1), В (4;1), С (4;5). Найти косинус угла С треугольника АВС.

Для нахождения косинуса угла $\angle C$ треугольника $ABC$, где вершины треугольника заданы точками $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ и $C(4, 5)$, воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами.

1. Находим векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$:

   Вектор $\overrightarrow{AC}$ можно вычислить как разницу координат точек $C$ и $A$:

   $$\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (4 - 1, 5 - 1) = (3, 4)$$

   Вектор $\overrightarrow{BC}$ можно вычислить как разницу координат точек $C$ и $B$:

   $$\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (4 - 4, 5 - 1) = (0, 4)$$

2. Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

   Косинус угла $\angle C$ между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$ можно вычислить по формуле:

   $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BC}|}$$

   где:

   • $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}$ — скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$,

   • $|\overrightarrow{AC}|$ и $|\overrightarrow{BC}|$ — длины векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$.

3. Вычисляем скалярное произведение $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}$:

   $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = (3 \cdot 0) + (4 \cdot 4) = 0 + 16 = 16$$

4. Вычисляем длины векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BC}$:

   Длина вектора $\overrightarrow{AC}$ вычисляется по формуле:

   $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$