Укажите неравенство, которое не имеет решений: 1) x² - 2x - 65 < 0 2) x² - 2x - 65 > 0 3) x² - 2x + 65 > 0 4) x² - 2x + 65 < 0

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности и определим, имеет ли оно решения.

1) $x^2 - 2x - 65 < 0$

Решим квадратное неравенство. Сначала найдём корни уравнения:

Дискриминант:

Корни уравнения существуют и вещественные, значит парабола пересекает ось x. Ветви параболы направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный). Тогда неравенство $x^2 - 2x - 65 < 0$ имеет решения — промежуток между корнями. Это неравенство имеет решения.

2) $x^2 - 2x - 65 > 0$

То же самое уравнение, но теперь знак неравенства «больше нуля». Поскольку ветви вверх, выражение положительно за пределами корней. Значит, это неравенство имеет решения (объединение двух промежутков вне корней).

3) $x^2 - 2x + 65 > 0$

Рассмотрим дискриминант у квадратного трёхчлена:

Дискриминант отрицательный, корней нет. Парабола не пересекает ось x. Ветви направлены вверх. Значит, выражение всегда положительно, то есть больше нуля при любом $x$. Таким образом, неравенство выполняется для всех значений $x$. Имеет бесконечно много решений.

4) $x^2 - 2x + 65 < 0$

Тот же трёхчлен, что и в предыдущем пункте, с отрицательным дискриминантом и ветвями вверх. Значит, парабола никогда не опускается ниже оси x. Следовательно, выражение никогда не бывает меньше нуля.

Это неравенство не имеет решений.

Ответ: 4) $x^2 - 2x + 65 < 0$ — это неравенство не имеет решений.