Рассмотрите мешок букв слова МАТЕМАТИКА. Сколько можно составить различных цепочек, каждая из которых состоит из 5 букв, взятых из этого мешка, при условии, что буквы в цепочке могут повторяться в любом количестве (например, цепочку МММММ нужно учитывать)?

Для решения задачи нужно понять, сколько различных цепочек из 5 букв можно составить из букв слова "МАТЕМАТИКА", если буквы могут повторяться.

1. Разберемся, какие буквы содержатся в слове "МАТЕМАТИКА". Это:

   • М (2 раза),

   • А (2 раза),

   • Т (2 раза),

   • Е (1 раз),

   • И (1 раз),

   • К (1 раз).

2. Для составления цепочек из 5 букв мы можем использовать любую из этих букв. Главное, что буквы могут повторяться, и мы должны учитывать все возможные варианты повторений.

3. Всего у нас 6 различных букв: М, А, Т, Е, И, К.

4. Каждая из 5 позиций в цепочке может быть заполнена одной из 6 букв. Поскольку буквы могут повторяться, для каждой позиции имеется 6 вариантов.

5. Таким образом, количество различных цепочек из 5 букв, которые можно составить, вычисляется как:

   $$6^5 = 7776$$

Ответ: можно составить 7776 различных цепочек.