Решить уравнение: x³ + 5x² - 4x - 20 = 0

Для решения уравнения $x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0$, начнём с попытки найти хотя бы один корень с помощью метода подбора.

Шаг 1: Попробуем подобрать рациональные корни

Для поиска возможных рациональных корней воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Теорема говорит, что возможные рациональные корни могут быть вида $\pm \frac{p}{q}$, где $p$ — это делители свободного члена уравнения (в нашем случае $-20$), а $q$ — это делители старшего коэффициента (в данном случае коэффициента при $x^3$, который равен 1).

Таким образом, возможные значения для $x$ — это делители $-20$: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$.

Шаг 2: Проверим, является ли один из этих корней решением уравнения

Проверим $x = 2$:

Значит, $x = 2$ — корень уравнения.

Шаг 3: Разделим полином на $(x - 2)$

Теперь, зная, что $x = 2$ — корень, мы можем выполнить деление многочлена $x^3 + 5x^2 - 4x - 20$ на $x - 2$. Для этого используем метод деления многочлена на одночлен.

Деление $x^3 + 5x^2 - 4x - 20$ на $x - 2$:

1. Разделим $x^3$ на $x$, получаем $x^2$.

2. Умножим $x^2$ на $x - 2$, получим $x^3 - 2x^2$.

3. Вычтем $(x^3 - 2x^2)$ из $x^3 + 5x^2$, получаем $7x^2$.

4. Разделим $7x^2$ на $x$, получаем $7x$.

5. Умножим $7x$ на $x - 2$, получим $7x^2 - 14x$.

6. Вычтем $(7x^2 - 14x)$ из $7x^2 - 4x$, получаем $10x$.

7. Разделим $10x$ на $x$, получаем $10$.

8. Умножим $10$ на $x - 2$, получим $10x - 20$.

9. Вычтем $(10x - 20)$ из $10x - 20$, получаем 0.

Таким образом, результат деления:

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь нужно решить квадратное уравнение $x^2 + 7x + 10 = 0$. Для этого применим формулу для решения квадратного уравнения:

Где $a = 1$, $b = 7$, $c = 10$.

Подставим значения в формулу: