Решите уравнение Х³+2х²-9х-18=0

Рассмотрим уравнение:

x³ + 2x² - 9x - 18 = 0

Это кубическое уравнение. Чтобы решить его, сначала попробуем найти хотя бы один целый корень с помощью метода рациональных корней (теорема Безу). Для этого подбираем значения, при которых левое выражение становится нулём. Возможные рациональные корни — делители свободного члена (–18), то есть:
±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18.

1. Подставим x = 1:

1³ + 2·1² – 9·1 – 18 = 1 + 2 – 9 – 18 = –24 → не ноль.

2. Подставим x = –1:

(–1)³ + 2·(–1)² – 9·(–1) – 18 = –1 + 2 + 9 – 18 = –8 → не ноль.

3. Подставим x = 2:

8 + 8 – 18 – 18 = сильно отрицательное, тоже нет.

4. Подставим x = –2:

(–2)³ + 2·(–2)² – 9·(–2) – 18 = –8 + 8 + 18 – 18 = 0

Нашли корень: x = –2

Теперь делим многочлен на (x + 2), используя деление многочлена (или схему Горнера).

Разделим:
x³ + 2x² – 9x – 18 на (x + 2).

Сначала деление уголком:

markdown
Копировать
          x²      0x      –9
(x + 2) | x³   + 2x²   – 9x   – 18
          – (x³ + 2x²)
            ______________
                  0x² – 9x
                – (0x² + 0x)
            ______________
                       –9x – 18
                     – (–9x – 18)
            ______________
                          0

Получили результат деления:
x² – 9

Таким образом, уравнение раскладывается на множители:
(x + 2)(x² – 9) = 0

Теперь разложим x² – 9 как разность квадратов:
x² – 9 = (x – 3)(x + 3)

Итак, полное разложение:
(x + 2)(x – 3)(x + 3) = 0

Решения уравнения:

x = –2, x = –3, x = 3

Ответ: x = –3, x = –2, x = 3.