(х+1)(х-1)/(х+4)<0 Решить неравенство.

Выражение:

Давайте подробно разберём, что это за выражение и что с ним можно сделать.

1. Форма выражения

Это рациональное алгебраическое выражение, состоящее из числителя и знаменателя:

• Числитель: $(x+1)(x-1)$ — это разность квадратов, то есть можно записать как $x^2 - 1$.

• Знаменатель: $x + 4$

2. Упрощение

Выражение можно переписать в более простой форме:

Это — максимально упрощённая форма. Сократить дальше нельзя, потому что числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

3. Область определения

Поскольку это дробь, нужно исключить значение переменной, при котором знаменатель равен нулю.

• $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Значит, область определения: все действительные числа, кроме $x = -4$.

4. Частные случаи

Можно подставить разные значения $x$, чтобы увидеть, как ведёт себя выражение:

• При $x = 0$: $\frac{(0+1)(0-1)}{0+4} = \frac{1 \cdot (-1)}{4} = -\frac{1}{4}$

• При $x = 1$: $\frac{(1+1)(1-1)}{1+4} = \frac{2 \cdot 0}{5} = 0$

• При $x = 2$: $\frac{(2+1)(2-1)}{2+4} = \frac{3 \cdot 1}{6} = \frac{1}{2}$

5. График

Если построить график этой функции, то это будет гипербола с разрывом (асимптотой) в точке $x = -4$, где функция не определена. А также будет ноль функции в точке $x = 1$ и $x = -1$, так как числитель обращается в ноль.

Вывод:

Выражение $\frac{(x+1)(x-1)}{x+4}$ упрощается до $\frac{x^2 - 1}{x + 4}$ и определено при всех $x$, кроме $x = -4$. Это рациональная функция с нулями в точках $x = 1$ и $x = -1$, и вертикальной асимптотой в точке $x = -4$.