Найти интервалы возрастания и убывания функции: \( y = x^4 - 2x^2 \).

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции $y = x^4 - 2x^2$, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем первую производную функции.

Для этого применим стандартные правила дифференцирования:

Шаг 2: Найдем критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

Вынесем общий множитель:

Далее решим уравнение:

Отсюда $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$. Это критические точки функции.

Шаг 3: Проанализируем знаки первой производной на интервалах.

Теперь разберемся, на каких интервалах функция возрастает или убывает. Для этого рассмотрим знаки первой производной на интервалах, которые делят критические точки:

• $(-\infty, -1)$

• $(-1, 0)$

• $(0, 1)$

• $(1, \infty)$

Возьмем произвольные точки на каждом из этих интервалов и подставим в первую производную $4x^3 - 4x$.

1. На интервале $(-\infty, -1)$, например, возьмем $x = -2$:

Знак отрицательный, значит, на интервале $(-\infty, -1)$ функция убывает.

2. На интервале $(-1, 0)$, например, возьмем $x = -\frac{1}{2}$:

Знак положительный, значит, на интервале $(-1, 0)$ функция возрастает.

3. На интервале $(0, 1)$, например, возьмем $x = \frac{1}{2}$:

Знак отрицательный, значит, на интервале $(0, 1)$ функция убывает.

4. На интервале $(1, \infty)$, например, возьмем $x = 2$:

Знак положительный, значит, на интервале $(1, \infty)$ функция возрастает.

Шаг 4: Подведем итог.

• Функция убывает на интервале $(-\infty, -1)$.

• Функция возрастает на интервале $(-1, 0)$.

• Функция убывает на интервале $(0, 1)$.

• Функция возрастает на интервале $(1, \infty)$.

Таким образом, интервалы возрастания и убывания функции $y = x^4 - 2x^2$ следующие:

• Функция возрастает на интервалах $(-1, 0)$ и $(1, \infty)$.

• Функция убывает на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(0, 1)$.