у = х² - 2х - 3. Промежутки возрастания и убывания, наименьшее значение функции, при каких значениях х у < 0.

Рассмотрим функцию:
y = x² - 2x - 3

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх (потому что коэффициент при $x^2$ положительный).

1. Промежутки возрастания и убывания

Чтобы найти, на каких промежутках функция возрастает и убывает, нужно найти вершину параболы, так как она делит график на убывающую и возрастающую части.

Формула вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a}$

В нашем случае:

• $a = 1$

• $b = -2$

Подставим:
$x_0 = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

То есть, в вершине x = 1.

• На промежутке $(-\infty; 1)$ функция убывает

• На промежутке $(1; +\infty)$ функция возрастает

2. Наименьшее значение функции

Так как ветви параболы направлены вверх, то наименьшее значение достигается в вершине $x = 1$. Подставим это значение в исходную функцию:

$y = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$

Наименьшее значение функции: $y = -4$, при $x = 1$

3. При каких значениях $x$ $y < 0$

Найдем, при каких $x$ значение функции отрицательно. Для этого решим неравенство:

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решения уравнения:

Дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Корни:
$x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$
$x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Парабола меньше нуля между корнями, т.е. на интервале:

$x \in (-1; 3)$

Ответ в краткой форме:

• Убывает на $(-\infty; 1)$

• Возрастает на $(1; +\infty)$

• Наименьшее значение: $y = -4$, при $x = 1$

• $y < 0$, когда $x \in (-1; 3)$