ABCD - трапеция: угол D=60 градусов, CD=12 см, CH - высота,
ВС=СH, AD=CD, MN - средняя
линия. Найти MN-?

Чтобы найти длину средней линии $MN$ трапеции $ABCD$, где известно, что $\angle D = 60^\circ$, $CD = 12$ см, $CH$ является высотой, $BC = CH$, $AD = CD$, и $MN$ — это средняя линия, следует выполнить несколько шагов.

1. Определение типа трапеции: Поскольку $AD = CD$ и $\angle D = 60^\circ$, трапеция $ABCD$ может быть равнобедренной. Это значит, что углы при основании $AD$ и $BC$ равны, а боковые стороны $AD$ и $BC$ равны между собой.

2. Использование свойств равнобедренной трапеции: В равнобедренной трапеции средняя линия $MN$ равна полусумме длин оснований $AD$ и $BC$. Однако нам дано, что $BC = CH$, и не указано, как $CH$ соотносится с длинами сторон трапеции, кроме того, что это высота.

3. Расчет длины $BC$: Если $CH$ — высота, опущенная на $AD$, и $BC = CH$, то для нахождения $BC$ необходимо определить высоту $CH$. Это можно сделать, рассмотрев прямоугольный треугольник $CDH$, где $\angle D = 60^\circ$, $CD = 12$ см. Используя свойства прямоугольного треугольника, где один из углов равен $60^\circ$, можно определить, что $CH = CD \times \sin(60^\circ)$ и $DH = CD \times \cos(60^\circ)$.

4. Вычисление $CH$: $CH = 12 \times \sin(60^\circ)$. Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем $CH = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

5. Нахождение $MN$: Теперь, когда мы знаем, что $BC = CH = 6\sqrt{3}$ см и $AD = CD = 12$ см, можем найти $MN$ как полусумму $AD$ и $BC$: $MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{2}$.

6. Расчет $MN$: $MN = 6 + 3\sqrt{3}$ см.

Итак, длина средней линии $MN$ равнобедренной трапеции $ABCD$ составляет $6 + 3\sqrt{3}$ см.