Решите уравнение: \(2x^4 + 3x^2 - 2 = 0\).

Для решения уравнения $2x^4 + 3x^2 - 2 = 0$ можно воспользоваться заменой переменной.

1. Введем замену: пусть $y = x^2$. Таким образом, уравнение примет вид:

   $$2y^2 + 3y - 2 = 0$$

2. Решим квадратное уравнение: теперь у нас обычное квадратное уравнение относительно $y$. Мы можем решить его с помощью дискриминанта.

   Дискриминант $D$ для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ равен:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

   $$D = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$$

   Дискриминант $D = 25$, что означает, что уравнение имеет два действительных корня.

3. Найдем корни уравнения: используя формулу для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставим значения $a = 2$, $b = 3$, $D = 25$:

   $$y = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{-3 \pm 5}{4}$$

   Таким образом, у нас два возможных значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

4. Возвращаемся к переменной $x$: вспомним, что $y = x^2$. Теперь подставим полученные значения $y$ обратно.

   • Для $y_1 = \frac{1}{2}$ имеем $x^2 = \frac{1}{2}$. Таким образом, $x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

   • Для $y_2 = -2$ у нас $x^2 = -2$, что не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

5. Ответ: Единственные действительные корни уравнения $2x^4 + 3x^2 - 2 = 0$ — это $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.