Убедитесь, что НОД (36, 24) * НОК (36, 24) = 36 * 24. Выполняется ли это свойство для других пар чисел?

Для того чтобы проверить, выполняется ли свойство $\text{НОД}(a, b) \times \text{НОК}(a, b) = a \times b$, давайте разберемся, что такое НОД и НОК.

НОД (наибольший общий делитель) двух чисел — это наибольшее число, которое делит оба числа без остатка.
НОК (наименьшее общее кратное) двух чисел — это наименьшее число, которое делится на оба числа.

Для чисел $a$ и $b$ выполняется следующее соотношение:

Это свойство всегда выполняется для любых двух чисел, так как оно следует из основ теории чисел. В самом деле, если мы умножаем наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ на их наименьшее общее кратное, мы получаем произведение самих чисел. Это связано с тем, что:

• НОД делит оба числа, и можно записать $a = \text{НОД}(a, b) \times k_1$, $b = \text{НОД}(a, b) \times k_2$, где $k_1$ и $k_2$ взаимно просты.

• НОК, в свою очередь, равно $\text{НОК}(a, b) = \text{НОД}(a, b) \times k_1 \times k_2$.

Поэтому:

Теперь давайте проверим это для чисел 36 и 24. Мы знаем, что:

• $\text{НОД}(36, 24) = 12$,

• $\text{НОК}(36, 24) = 72$.

Проверим:

и

Таким образом, $\text{НОД}(36, 24) \times \text{НОК}(36, 24) = 36 \times 24$, как и ожидалось.

Теперь, для других пар чисел это свойство будет выполняться всегда, так как оно является обоснованным теоретически.