Решите уравнение с полным объяснением: $$(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0$$

Для решения уравнения $(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0$, давайте подробно разберемся шаг за шагом.

1. Анализ уравнения:
   У нас есть сумма квадратов двух выражений:

   $$(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0.$$

   Известно, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Сумма двух квадратов будет равна нулю только в том случае, если оба квадрата равны нулю. То есть:

   $$(x^2 - 25)^2 = 0 \quad \text{и} \quad (x^2 + 3x - 10)^2 = 0.$$

2. Решение первого уравнения $(x^2 - 25)^2 = 0$:
   Для того чтобы квадрат выражения равнялся нулю, само выражение должно быть равно нулю:

   $$x^2 - 25 = 0.$$

   Это простое квадратное уравнение, которое можно решить:

   $$x^2 = 25.$$

   Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x$:

   $$x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5.$$

3. Решение второго уравнения $(x^2 + 3x - 10)^2 = 0$:
   Аналогично, для того чтобы квадрат равнялся нулю, само выражение должно быть равно нулю:

   $$x^2 + 3x - 10 = 0.$$

   Решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49.$$

   Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5.$$

4. Совмещение решений:
   Из первого уравнения $(x^2 - 25)^2 = 0$ мы получили, что $x = 5$ или $x = -5$.
   Из второго уравнения $(x^2 + 3x - 10)^2 = 0$ мы получили, что $x = 2$ или $x = -5$.

   Таким образом, общее решение уравнения — это пересечение решений двух уравнений, то есть $x = -5$.

Ответ: Единственное решение уравнения — $x = -5$.