Решите уравнение (х-2)^2(x-3)=20(x-2)

Для решения уравнения $(x-2)^2(x-3)=20(x-2)$, можно следовать таким шагам:

1. Переносим все в одну сторону уравнения:

   Уравнение $(x-2)^2(x-3) = 20(x-2)$ имеет выражение с общим множителем $(x-2)$ с обеих сторон. Это даст нам возможность упростить уравнение.

   Переносим все на одну сторону:

   $$(x-2)^2(x-3) - 20(x-2) = 0$$

2. Вынесем общий множитель $(x-2)$:

   Из обоих слагаемых можно вынести $(x-2)$ за скобки:

   $$(x-2)\left[(x-2)(x-3) - 20\right] = 0$$

3. Решим уравнение на два случая:

   У нас есть два множителя: $(x-2) = 0$ и $\left[(x-2)(x-3) - 20\right] = 0$.

   • Первый случай:

     $$x-2 = 0 \implies x = 2$$

   • Второй случай:

     $$(x-2)(x-3) - 20 = 0$$

     Раскроем скобки в выражении $(x-2)(x-3)$:

     $$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$$

     Тогда уравнение становится:

     $$x^2 - 5x + 6 - 20 = 0$$

     Упростим:

     $$x^2 - 5x - 14 = 0$$

     Это квадратное уравнение. Для его решения используем формулу дискриминанта:

     $$D = (-5)^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81$$

     Корни уравнения:

     $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{5 \pm 9}{2}$$

     Таким образом, два корня:

     $$x_1 = \frac{5 + 9}{2} = 7 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 - 9}{2} = -2$$

4. Ответ:

   Все возможные решения уравнения:

   $$x = 2, x = 7, x = -2$$