Решите уравнение \(5^x - 5^{x-2} = 600\) с подробным объяснением.

Для решения уравнения $5^x - 5^{x-2} = 600$, давайте внимательно рассмотрим каждый шаг.

Шаг 1: Перепишем выражение

У нас есть выражение $5^x - 5^{x-2}$, и нам нужно упростить его. Обратим внимание, что $5^{x-2}$ можно выразить как $5^x \cdot 5^{-2}$, используя свойства степеней. Таким образом:

Поскольку $5^2 = 25$, мы можем переписать уравнение так:

Шаг 2: Вынесем общий множитель

Теперь заметим, что $5^x$ встречается в обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

Упростим выражение в скобках. $1 - \frac{1}{25} = \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$, и получаем:

Шаг 3: Изолируем $5^x$

Теперь умножим обе части уравнения на $\frac{25}{24}$, чтобы изолировать $5^x$:

Выполним умножение:

Шаг 4: Применим логарифм

Теперь у нас есть уравнение $5^x = 625$. Заметим, что $625 = 5^4$, то есть:

Поскольку основания одинаковые, можем приравнять показатели степеней:

Ответ:

Решением уравнения является $x = 4$.