Исследовать функцию: y = x² / (x - 1)

Исследуем функцию $y = \frac{x^2}{x - 1}$ подробно, шаг за шагом.

1. Область определения

Функция определена везде, кроме точек, где знаменатель равен нулю:

Значит, область определения:

2. Асимптоты

Вертикальная асимптота:

Точка $x = 1$ — вертикальная асимптота, поскольку при приближении к ней знаменатель стремится к нулю, а числитель — к конечному числу.

Наклонная (косая) асимптота:

Найдём предел при $x \to \infty$:

Разделим числитель и знаменатель на $x$:

Так как степень числителя выше степени знаменателя, есть косая асимптота. Делим $x^2$ на $x - 1$ в столбик или через деление многочленов:

Значит, наклонная асимптота:

3. Первообразный анализ: производная

Функция:

Воспользуемся правилом производной дроби:

Раскроем скобки:

Тогда:

4. Промежутки возрастания и убывания

Проанализируем знак производной:

Знаменатель $(x - 1)^2 > 0$ на всём множестве определения.

Числитель: $x(x - 2)$

Нули числителя: $x = 0$, $x = 2$

Разбиваем область определения на интервалы:

• $(-\infty, 0)$: оба множителя отрицательные → $y' > 0$ → возрастает

• $(0, 1)$: $x > 0$, $x - 2 < 0$ → $y' < 0$ → убывает

• $(1, 2)$: аналогично → $y' < 0$ → убывает

• $(2, \infty)$: оба положительные → $y' > 0$ → возрастает

5. Экстремумы

Из производной:

• $x = 0$: производная меняется с $+$ на $-$ → максимум

• $x = 2$: производная меняется с $-$ на $+$ → минимум

Найдём значения функции:

• $y(0) = 0$

• $y(2) = \frac{4}{2 - 1} = 4$